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So genannte Lageparameter werden berechnet, um die zentrale Tendenz von Daten zu ermitteln. Umgangssprachlich sprechen wir von Durchschnittswerten.
Die drei Lageparameter haben unterschiedliche Anforderungen an die Daten.
▪ Der Modus kann bei beliebigen Datentypen ermitteln werden.
▪ Beim Median muss mindestens ein ordinales Merkmal vorhanden sein.
▪ Beim arithmetischen Mittelwert müssen die Daten metrisch (quantitativ) sein.
Der Median ist bei Ausreißern oder schiefen Verteilungen ein stabiles Lagemaß. Bei symmetrischen Verteilungen sind Modus, Median und Mittelwert fast gleich.
Zur Berechnung des entsprechenden Lageparameters müssen die Daten gezählt, summiert, geteilt oder auch nur bestimmt werden.
Modus (xD): Der häufigste Merkmalswert ist der Modus.
Median (~x): Der Wert in der Mitte einer geordneten Liste ist der Median.
Mittelwert (x¯): Bilden Sie die Summe aller Werte geteilt durch die Anzahl ist der Mittelwert.
In einer Firma arbeiten zehn Mitarbeiter. Die aktuelle Verteilung des Gehalts sieht man in folgender Tabelle. Die Personalabteilung möchte einen neuen Mitarbeiter einstellen und nutzt für die Bestimmung des Gehalts die Statistik.
Modus:
Der Modus ist der häufigste Wert. Vier von zehn Mitarbeitern
verdienen xD= 2.500 €. Sollte es zwei Werte geben, die am häufigsten vorkommen so ist es eine bimodale Verteilung.
| Name | Gehalt/Monat |
|---|---|
| Herr Anton | 2.300 € |
| Herr Berta | 1.700 € |
| Herr Cäsar | 2.500 € |
| Herr Dora | 2.500 € |
| Frau Emil | 1.700 € |
| Frau Friedrich | 2.500 € |
| Frau Gustav | 2.300 € |
| Frau Heinrich | 2.300 € |
| Frau Ida | 2.500 € |
| (Frau Julius) | (7.000 €) |
Tabelle 1: Gehaltstabelle, alphabetisch nach Namen sortiert
Median:
Der Median ist den Wert in der Mitte einer geordneten Datenreihe. Ohne das Gehalt von Frau Julius, ist Frau Heinrich der Median mit ~x =2.300 €. Mit Frau Julius ist es der Wert in der Mitte also:
~x = 2.400 € ( 2.500 2+ 2.300 ).
| Name | Gehalt/Monat |
|---|---|
| Herr Berta | 1.700 € |
| Frau Emil | 1.700 € |
| Herr Anton | 2.300 € |
| Frau Gustav | 2.300 € |
| Frau Heinrich | 2.300 € |
| Herr Cäsar | 2.500 € |
| Herr Dora | 2.500 € |
| Frau Friedrich | 2.500 € |
| Frau Ida | 2.500 € |
| (Frau Julius) | (7.000 €) |
Tabelle 2: Gehaltstabelle, Gehalt aufsteigend sortiert
Arithmetischer Mittelwert:
Der Mittelwert ist die Summe aller Gehälter durch die Anzahl der Gehälter. Mit dem Gehalt von Frau
Julius verschiebt sich der Mittelwert sehr stark nach oben.
x¯1 = 2.300 + 1.700 + 2.500 + 2.500 + 1.7900 + 2.500 + 2.300 + 2.300 + 2.500 = 2.255,55 €
x¯2 = 2.300 + 1.700 + 2.500 + 1.700 + 2.500 + 2.500 + 1.700 + 2.500 + 2.300 + 2.300 + 2.500 + 7.000 = 2.730,00 €
Die Personalabteilung entscheidet dem neuen Mitarbeiter ein mittleres Gehalt zu zahlen anhand des
Median. Das ist gerechter.
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